大家一起来做数学题：0.999999…… = 1 吗？
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[1 楼] 八大行星
[资深泡菜]
4-23 23:37
有人说等于，因为1/3 = 0.3333...... 3 x 1/3 =1, 又显然0.3333.... + 0.3333.... + 0.3333.... =0.99999...... 所以 0.99999..... = 1
也有人说，0.99999...... 和1之间差一个无穷小，这导致0.9999属于1)但不属于1]，所以 0.99999..... 并不等于 1 WNDWJ，你怎么看？ |
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[25 楼] Trompette
[泡菜]
5-1 13:07
lhy02 发表于 2026-04-28 18:18 跳出有理数的定义，直接从实数和数轴入手就更容易想明白 实数 -> 对应数轴上的每一个点 数轴 -> 有原点，有单位，有方向的直线 直线 -> 点运动的轨迹 从数轴上确定一个实数，就像实操从直线上确定一个点。大致有两种办法： - 直接刀劈/折断/分割，断点就是那个实数（直接规定1） - 或者想象连续推动一个游标，游标最终停下的点就是那个实数（0.999...，和1.0000... 是游标从左右推到1的不同推法） Trompette 编辑于 2026-05-01 13:14 |
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[24 楼] lhy02
[泡菜]
4-28 18:18
先提出有理数，然后一阵乱推之后，又来一个有理数的概念。
0.99999……不属于第一个有理数的概念范围，但属于第二个有理数的概念范围。 数学为了追求严谨性，太痴狂了。 |
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[23 楼] Trompette
[泡菜]
4-27 20:31
八大行星 发表于 2026-04-27 12:48 "既然 0.000...001 永远不会出现，那么这个数字本质上就是 0" 这就像 0.000....001 存在于超实数中，不影响标准实数等于 1。 与其说高等数学工具能够计算，不如说高等工具就是为了解决这类问题而发明或定义的 除了标准分析（实数是柯西链的极限）和非标分析（超实数包含标准实数和无穷小）外 还有其他的工具或理论能解答吗？ |
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[22 楼] 村西老张
[泡菜]
4-27 18:00
四舍五入可用否?
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[21 楼] ssl0008
[泡菜]
4-27 13:20
Trompette 发表于 2026-04-25 13:45 从这里开始错了 但是你下面的回复没有问题，0.9循环=1不能用中小学数学证明，0.9循环是一个无穷级数，1/3法和10x-x法都是对这个无穷级数的运算，对无穷级数的运算需要先证明收敛性，上来就乘个10，其实已经假定0.9循环等于1了，属于循环论证 注意，0.9循环=1不能用中小学数学证明，不管你想证明相等还是不相等，都不能 编辑一下，看到你说“问题是求值，没叫求极限”，看来您并没有上过大学，我不再与您继续探讨这个话题，您说什么都对 ssl0008 编辑于 2026-04-27 13:24 |
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[20 楼] 八大行星
[资深泡菜]
4-27 12:48
Trompette 发表于 2026-04-26 18:57 如果n是一个具体的实数，那0.000(n+1)个0001 >0显然没问题。 但如果n是无穷大，AI回答是这样的： 这种写法在标准的实数系统（Real Numbers）中是不成立的，甚至在逻辑上是自相矛盾的。 我们可以从以下几个维度来拆解为什么这个数字“无法存在”： 1. 位置原则的悖论在我们使用的十进制位值体系中，每一个数字都必须有一个明确的“位次”。 如果小数点后有无穷多个 $0$，那么数字 $1$ 应该排在第几位？ 在数学上，如果你说某个东西在“无穷远”的地方，那意味着它永远不会出现。既然 $1$ 永远不会出现，那么这个数字本质上就是 $0$ 2. 阿基米德公理（Archimedean Property）标准的实数体系遵循阿基米德公理，简单来说就是：不存在“无穷小”的正实数。任何一个大于 $0$ 的实数，无论它多小，只要你把它不断累加，最终一定会超过 $1$。但如果你定义的这个数字有“无穷多个 $0$”，那么无论你加多少个这种数字，结果依然是 $0$。这违反了实数的连续性逻辑。 |
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[19 楼] 八大行星
[资深泡菜]
4-27 12:38
SangReal 发表于 2026-04-27 08:37 你就是首帖里说的那个人。 |
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[18 楼] SangReal
[资深泡菜]
4-27 08:37
就是1啊，0.9999...=0.333....*3=（1/3）*3=1
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[17 楼] helloscnu
[泡菜]
4-26 20:45
八大行星 发表于 2026-04-23 23:37 |
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[16 楼] Trompette
[泡菜]
4-26 18:57
八大行星 发表于 2026-04-26 13:48 正整数的数量是无穷的，所以 n 没有上界，或者 n 的上界是无穷 |
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[15 楼] 八大行星
[资深泡菜]
4-26 13:48
Trompette 发表于 2026-04-25 19:11 n的范围是多少？ |
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[14 楼] camsone
[泡菜]
4-26 10:46
一是一，二是二。
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[13 楼] ID被盗
[泡菜]
4-26 10:31
∞=∞吗
发布自 iOS客户端 |
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[12 楼] Trompette
[泡菜]
4-25 19:34
同时驳斥所有试图证明相等的方法
10x - x 法：误差来自尾数，*10后末尾少一位，-x 仍然会出现尾数。 等比数列求和法：误差来自无穷小，不能直接丢弃 1/3 * 3 法：误差来自未除尽的尾数。1/3 = 0.333... 是没说清楚极限的误导定义。 求极限法（包括数列夹逼）：问题是求值，没叫求极限 有理数阿基米德性：没考虑 0.999... 是无理数的情况 戴德金分割法：十六进制下的 0.FFFF... 就是介于 0.999... 和 1 之间的数 根本问题在于：有限运算（初等函数）无法直接表达∞ 一旦左值引用了∞（无穷个9），完全等价的右值也需要∞才行（无穷小） 除非引入映射和极限的定义，才能把∞映射到有穷集进行化简 |
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[11 楼] Trompette
[泡菜]
4-25 19:11
再换一个数学归纳法证明，大家看看有什么问题
1-0.9 = 0.1 >0 1-0.99 = 0.01 >0 若对 n 成立， 1-0.999(n个)999 = 0.000(n个)0001 > 0 则对 n+1 时，0.000(n个)0001 - 0.000(n+1)个0009 = 0.000(n+1)个0001 >0 所以对一切 n 都成立 1-0.999(n个) >0 |
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[10 楼] Trompette
[泡菜]
4-25 19:04
z1978 发表于 2026-04-25 14:40 哈哈，隐藏的问题被你发现了。 不过你的证明也不成立 数字乘法要从末尾起算，末位在无穷远处无法计算 另外，你的式子隐含认为10倍无穷小等于1倍无穷小，这并不合常理 |
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[9 楼] z1978
[资深泡菜]
4-25 14:40
Trompette 发表于 2026-04-25 13:45 z1978 编辑于 2026-04-25 14:44  |
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[8 楼] Trompette
[泡菜]
4-25 13:45
俺来发表一个原创证明，证明【两者不等】，大家看看问题在哪里
假设【引理1】：0.9999.... 是无理数 如引理1成立，因有理数和无理数无交集，故此0.999... 不等于任何有理数，包括1 以下用反证法证明引理1 若 x = 0.999... 是有理数，则可以写成 p/q 的一般形式，其中 p，q 为正整数 可推知 1-x = (q-p)/q >= 1/q > 1/10^q 即， x < 1-1/10^q 【1】 同时 x = 0.9999... = 0.99..(共q位9)..99 + 0.000..(共q位0)..00999... > 0.99..(共q位9)..99 即 x >1 - 1/10^q 【2】 【1】【2】矛盾，故 x 为无理数 Trompette 编辑于 2026-04-25 13:49 |
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[7 楼] ssl0008
[泡菜]
4-24 20:24
本科学历普查话题
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[6 楼] Trompette
[泡菜]
4-24 16:58
lhy02 发表于 2026-04-24 06:22 对二楼直接上正解，破坏娱乐贴的行为，俺十分鄙视 |
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[5 楼] 八大行星
[资深泡菜]
4-24 12:04
nickwu 发表于 2026-04-24 07:23 有点意思 |
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[4 楼] 一晴方觉夏深
[泡菜]
4-24 08:47
不是直接等于，是极限＝1
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[3 楼] nickwu
[泡菜]
4-24 07:23
当然等于1，设X=0.99999999999...,10X=9.999999999.....,10X-X=9,X=1
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[2 楼] lhy02
[泡菜]
4-24 06:22
在数学上，直接定义0.999……是1的另一种表达方式
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