立体几何与函数的困惑
20217
563
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[535 楼] 午山
[泡菜]
24-6-4 21:23
yxiao_9015 发表于 2024-06-04 05:45 不知这个“期望值就是 (1 - p^5) / p” 是怎么计算得出的？ 这里有点没看明白， 还麻烦请您再讲解一下。 谢谢！ |
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[534 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-6-4 05:45
嗯，这种问题研究一下可以，难度适中，而且比较容易举一反三，适合“临时抱佛脚”。
先看（1），这个应该没有任何问题吧：有放回的前提下，不管是第几次摸，摸到红球的概率都是 p，与前面摸的情况无关； 再看（2），先看方案二，不管摸多少次，每次摸到红球的概率都是 p，所以摸 5 次，摸到红球的期望就是 5p；5p 除以摸的次数，就是 p 所以 此法是“合理”的，当然需要摸的次数“足够”多； 再回到方案 一，连续 n - 1 次摸到白球的概率是 (1 - p)^(n - 1)，所以需要摸 n 次且摸到红球的概率 (1 - p)^(n - 1) * p，这是一个等比数列， 求和的结果是 1 - p^5。 关于合理性，我估计命题老师的本意是要你们选择方案二为“合理”答案。但实际上，方案一也是“合理”的，因为如果把需要摸的次数当成一个随 机变量，不难算出它的期望值就是 (1 - p^5) / p。 |
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[533 楼] 午山
[泡菜]
24-6-3 20:37
yxiao_9015 发表于 2024-06-03 09:38  过几天就开考了，现在的试卷中最后几道高分值题都挺有难度的，我的解题能力弱，也是想着最后几天再找些题抓紧来练练，争取把分数考高点。非常感谢您耐心的指导！  还想再向您请教一道概率大题，我的问题主要是在对这个第二小题的理解上。 看不太明白这里这个 “ 抽出红球的概率 ” 指的是什么？ 是需要把所有 “有红球” 的情况相加再除以所有情况还是什么呢？ 还麻烦请您再指点一下迷津！ 谢谢！ 午山 编辑于 2024-06-03 20:59 |
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[532 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-6-3 09:38
对了，你是明年高考还是今年？要是明年，这类问题还可以慢慢研究一下。要是今年，就算了吧。只有几天了，放松一下自己，调整出最佳状态，迎接高考。
高考题目，应该比咱们在这里研究过的多数问题都简单。还有“概念”问题，也别纠结了。这些问题，估计也不是出在你们自己。我看讲解“飘移”的视频，简直想揍那老师一顿。  |
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[531 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-6-3 09:26
你们的同学们，包括你自己，数学上绝大部分的问题都来自概念不清，还搞这么多似是而非的伪概念！
 网上搜了一下，总算大致搞清楚了你们这所谓“极值漂移” 的大致含义。这么说吧，“严重”的所谓“漂移"现象带来题目类似题目中的结论是一种 很“自然”的想法，但要“严重”到什么程度才会有这样的结论，而且不“漂移”的也未必就会有不等号改等号的结论，关键还得就事论事地算。因此这不是一个任何意义上的数学概念，而充其量只是一种“题型”总结。 你问这个问题是不是所谓的“极值漂移” ，结论是肯定的。用过的什么方法能不能适用，大致、应该、也许可以吧？具体怎么做，无非就是一堆可能的变态计算。加法乘法估计不是问题，关键要用对地方，否则计算起来就更可怕了。事实上乘法变加法，很多时候用指数函数或对数函数和原函数一起“构造”出一个新的复合函数就行了，只是具体计算中是否可行就不好说了。 说到“构造”二字，无数次从你的嘴里出来，多一半时候都莫名其妙，记得我给你纠正过不止一次两次，最后都不得不放弃了。 |
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[530 楼] 午山
[泡菜]
24-6-2 11:17
yxiao_9015 发表于 2024-05-30 11:05  对的，教科书中是没有对 “严格” 单调有所定义的。 非常感谢您的解答！ 这是一道导数证明题。 大概画出了函数的图像，但是却搞不明白怎么在这个变幻中构造出 “ x1x2 ” 这样的形式？ 学过类似的 “极值漂移” 但是 是 “ x1+x2 " 的形式，不知道在这里是否是一个迁移？ 还麻烦请您再给我指点一下。 谢谢！ 午山 编辑于 2024-06-02 11:25 |
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[529 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-5-30 11:05
继续——
如果是前者（区分严格与不严格的定义方式），举一反例即可： 令 f(x) ≡ 1/3，显然函数满足题目的所有约束条件，但在任意区间都单调。即选项错误。 如果是后者（不认可“非严格”单调的定义方式）： 用反证法可证明函数在区间（严格）单调的结论不成立，即选项正确。 不失一般性，假设 f(x) 在（sqrt2, sqrt3）区间（严格）单调上升，则由于 2f(x) + f(x^2 - 1) = 0， 我们有复合函数 f(x^2 - 1) 在该区间（严格）单调下降。 不难证明，此时 f(x) 在区间 (1, 2) 内（严格）单调下降。 由于区间（sqrt2, sqrt3）包含于区间 (1, 2) ，故矛盾。 |
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[528 楼] rex4218
[泡菜]
24-5-30 10:47
数学好像非常需要天赋。小学时的同学现在职业就是数学研究，已经移居澳门。看到她出的英文书籍和学术文章，我完全看不懂。
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[527 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-5-30 10:44
关于 D，有一个概念需要澄清：就是你们教科书中关于“单调”的概念，有无“严格”与不严格之分？
一般区分严格与不严格的定义方式如下： 即 若对区间内任意 x1 > x2，皆有 f(x1) >= f(x2) （ 或 f(x1) <= f(x2) ）则称函数 f(x) 在该区间 内单调上升（或单调下降）；若对区间内任意 x1 > x2，皆有 f(x1) > f(x2) （ 或 f(x1) < f(x2) ） 则称函数 f(x) 在该区间内严格单调上升（或单调下降） 你们的教科书是这样定义的吗？我在网上查到一个关于高中数学课程中单调函数的定义，似乎是： 若对区间内任意 x1 > x2，皆有 f(x1) > f(x2) （ 或 f(x1) < f(x2) ）则称函数 f(x) 在该区间内单调 上升（或单调下降）。 也就是不认可等号部分的存在，或不认可“非严格”的单调。 这两种定义的情况下，D 选项的选择是不同的。（当然，高考要以你们的教科书为准，虽然我估计高考 中应该不会出现这种理解有“歧义”的题目） yxiao_9015 编辑于 2024-05-30 10:50 |
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[526 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-5-30 10:18
午山 发表于 2024-05-29 20:39 这里研究的是一个满足条件的 f(x) 的“簇”，其中包括很多函数，它们具体都有哪些性质（个性）我们可能无从搞清楚，也不需要搞清楚。 我们只需研究它们的共性。 关于 A，你的做法没什么大问题，选项正确。 接下来就有点看不太明白了，我只写出规范的表述如下： 2f(sqrt2) + f(1) = 1，所以欲求 2f(sqrt2) ，只需求出 f(1) 即可； 2f(1) + 2f(0) = 1 1 = 2f(0) + f(-1) = 2f(0) + f(1) ∴ f(1) = f(0) = 1/3 故 f(sqrt2) = 1/3 即 B 错误 f(-1) = 1/3 即 C 正确。 |
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[525 楼] 午山
[泡菜]
24-5-29 20:39
yxiao_9015 发表于 2024-05-29 09:38  这个题目是完整的，并没有什么遗漏，题目参考答案是有解的，现在也不知道问题出在哪了，我也没有正确的计算出来，我接着再去尝试计算一下。非常感谢您的解答！ 这里还有一道函数小题，问题主要出在D选项。 对于一个只能用 “代入数值” 的方法求部分取值的函数，似乎很难去判断一个取值范围上的单调性与变化趋势？ 还麻烦请您指点一下在这种情况下我该怎么去处理这个函数使它的变化趋势 “清晰” 起来呢？ 谢谢！ 午山 编辑于 2024-05-29 20:57 |
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[524 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-5-29 09:38
【正负号】没有必要，因为 tanA = 2，说明 A 是锐角。
从右下角得出 tanB * tanC = 2 …………【1】 但 -2 = -tanA = tan(pai - A) = tan(B + C) = (tanB + tanC) / (1 - tanB * tanC) = -(tanB + tanC) 所以有 tanB + tanC = 2…………【2】 解方程组 【1】+【2】即可求出 tanB 及 tanC （方程是不是无解？题目哪儿错了，还是你我哪个环节算错了？但方法无非就是这样） |
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[523 楼] 午山
[泡菜]
24-5-28 22:18
yxiao_9015 发表于 2024-05-27 14:09  对的，题目是完整的，已计算过，您的解答非常的正确。 非常感谢您的解答！ 一道三角函数小题， 感觉不太明白题目的用意到底是什么。 根据题目，我只能求出 sinA 与 cosA 的取值，但是 B,C 却是不定角，故 n 的取值应该是一个范围？ 不太能够理解它， 还麻烦请您再指点一下这题。 谢谢！ 午山 编辑于 2024-05-28 22:33 |
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[522 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-5-27 14:09
午山 发表于 2024-05-26 21:37 四个选项分别代表 a1 = -3, -2, -1.5, -1 的情形。从数量关系上看，算了半天，四个选项似乎都没有发现违反哪个约束条件的情况，也就是说好 像都对。 但从题目条件的表述来看，a(n+1) = Sn/an，那么所有的 an 都不应该出现等于 0 的情况。符合这条件的似乎只有 C。 果如此，那这题目就颇有点类似“脑筋急转弯”的意味，没什么意思了。因为前面的条件只需稍稍变下形，改成 an * a(n+1) = Sn 即可完美规避 这个问题，而原有数量关系不会发生任何改变。 当然，也许还有什么条件被咱俩计算中同时忽略掉了，或者你抄题时漏掉了？ |
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[521 楼] 午山
[泡菜]
24-5-26 21:37
yxiao_9015 发表于 2024-05-26 10:38  是的，确实是没有学过这个 ε-δ， 也不太了解怎么使用它，等有时间再去琢磨一下它吧。非常感谢您细致的解答！ 还有一道数列小题，我已构造出了 an 是 “奇数项与偶数项分别构成等差数列”。 但苦于不知如何去求解这个貌似没有任何 “线索” 的 “a1” 导致无法求解出最后答案，所以就感觉有点不知所措了，还麻烦请您再给我点拨一下。 谢谢！ 午山 编辑于 2024-05-26 22:05 |
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[520 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-5-26 10:56
一向反对把大学里的微积分的内容“下放”到中学阶段。原因就是这个 ε-δ 方法或 ε-δ 语言，你讲不讲吧？讲了一些同学可能理解不了，
不符合“一个不能少”的原则；不讲吧，那你还讲极限、无穷、微积分作甚？讲了也是“假的”，似是而非的，到了大学阶段还要用加倍的 时间和精力来“纠偏”，个别人甚至这辈子可能也纠正不过来了，所以得不偿失。 |
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[519 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-5-26 10:38
午山 发表于 2024-05-25 22:26 你这不是数学意义上的“推理”，数学意义上的推理需要用到 ε-δ 语言。你们没讲过关于极限的 ε-δ 定义么？ 你这只是一种直观的想法，很自然，但作为一种描述却似是而非，因为经过这么一番“推理”之后毫无意义，通常情况下对错依然“一切皆有 可能”。事实上，具体到你的说法，结论是错误的。 因为“相当远”看似重要却不重要，“无限平”（旋转 90° 后“无限陡”）才是问题的关键。问题使用 ε-δ 语言描述出来一目了然，如果没讲过 这种方法，叙述和推理起来就比较麻烦了，只能一点点慢慢地“体会”。 这么说吧：你说的“稍微”顺时针旋转回来一点是多少？无论这个角度有多“小”，它总是一个大于 0 的常量（有限小）吧？但曲线（的切线） 与 y 轴的夹角却可以做到“无限小”。也就是说只要这个切点距离 x 轴“足够远”，它与 y 轴的夹角就可以小于前面的常量，即转了这么一个 角度之后就它的“上方”就会向右侧倾斜过来。 yxiao_9015 编辑于 2024-05-26 10:45 |
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[518 楼] 午山
[泡菜]
24-5-25 22:26
yxiao_9015 发表于 2024-05-24 08:56  按照您的指导，我又仔细地去思考了一下这道题。 ln(2x+1) 是一个增函数且在 x=0 处的切线为 “y=2x”，逆时针旋转 90 度后为 “y=-x/2”，此时右边的函数是非常 “远离” y 轴的。 如果把它稍微顺时针旋转回来一点，在 “x=0” 处切线斜率不存在之前，右边部分都不会和 y 轴相交且左边仍有函数图象？ 对此仍然感到迷惑不解，不知我这样的推理是否仍有 “盲区”？ 还麻烦请您再给我指点一下。 谢谢！ 午山 编辑于 2024-05-25 22:38 |
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[517 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-5-24 08:56
这个问题从老师的表述来看，该“应用题”的本意应该就是旋转一个 α 角度之后，曲线表示为某个 y = g(x) 时，对于任意 x，y 的值是唯一的。
（1）显然除了 pai/6，α 取（0，pai/2] 中的任意值都没有问题。唯独 pai/6 不行，因为此时曲线变成 y 轴，它不是任何“函数”的曲线； （2）当 x --> -1/2 时 y = f(x) 的曲线逼近一条垂直 x 轴的渐近线；当 x --> +∞ 时，曲线的切线斜率逼近 0。所以唯有 α = pai/2 时新的曲线 才可以是某个“函数”的曲线。你说 tanα 的“最大值”是多少吧？ （3）无非就是求满足 g'(x) <= 1 的 m 的范围，自己算吧。应该没有什么其他“陷阱”吧？ |
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[516 楼] 午山
[泡菜]
24-5-23 22:39
yxiao_9015 发表于 2024-05-23 08:21  好的，我会按照您的提示再去找几道相似的题来练练手。 非常感谢您的解答！ 这里还有一道 “函数旋转” 题。 我的几何想象能力有限，对于这个第二小题，在它的逆时针旋转过程中与 x 大于 0 的区域交点、交线情况就想象不太清楚了？ 还麻烦请您再给我指点一下迷津， 每每遇到这样的题，总是觉得很抽象。 谢谢！ 午山 编辑于 2024-05-23 22:52 |
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[515 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-5-23 08:21
午山 发表于 2024-05-22 19:59 f(x) - x >= 1，故 f(x) >= x + 1 > 1 f(x)lnx + 2/x > lnx + 2/x 不难证明，右侧当 x = 2 时达到最小值 ln2 + 1 > 3/2 感觉这才是高考“小题”应有的难度，不要因为难题做多了，习惯性地把简单问题看复杂了。 要说“解题技巧”，这种“多问”的问题，后题明显比较复杂的话，通常可以研究一下前面的结论，看看对简化后题有无帮助。 |
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[514 楼] 午山
[泡菜]
24-5-22 19:59
yxiao_9015 发表于 2024-05-22 10:09   这是一道函数与导数小题，经过初步分析后我判断这道题应该需要 “分类讨论”。 但是从导数上我找不出一个 “确切的分界点”， 在选取了 “1” 后更是与所求目标自相矛盾了？ 不知对于这种类型的题目，它的突破点在哪里呢？ 还麻烦请您再指点一下。 谢谢！ 午山 编辑于 2024-05-22 20:13 |
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[513 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-5-22 10:09
午山 发表于 2024-05-21 19:50 选项正确； B：f(x) = f(-x + 2*x) = 4*f(-x)*(f(x))^2 所以 f(-x)*f(x) = 1/4 = (f(0))^2 选项正确； C：1 = f(1) = f(0 + 2 * 0.5) = 4 * f(0) * (f(0.5))^2 所以 f(0.5) = sqrt2 / 2。 f(x + 1) = f(x + 2 * 0.5) = 4 * f(x) * (f(0.5))^2 = 2f(x)， 即对于自然数 n，有 f(n) 为等比数列 f(n) = 2^n。所以选项正确； D：由 C 有 f(x) 无最大值；再由 B 有 f(x) 无最小值。 选项错误。 |
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[512 楼] 午山
[泡菜]
24-5-21 19:50
yxiao_9015 发表于 2024-05-21 07:16  好的，按您的提示我再去计算一下这题。 非常感谢您的解答！ 这是一道同时含有 x,y 两个自变量的函数题。 我尝试用一个含 x 的式子去代掉 y，代了多组数值，感觉还是找不到方向，不能得出一个有效的只含 x 的函数关系式？ 还麻烦请您再给指点一下。 谢谢！ 午山 编辑于 2024-05-21 20:00 |
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[511 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-5-21 07:16
满足条件 g(x+1) - 1 是奇函数的函数有很多，选择那些在 x = 1 点没有定义的函数即可。例如
g(x) = 1 / (x - 1) + 1 事实上，曲线 y = f(x) 和 y = g(x) 的交点数为偶数的充分必要条件就是 f(x) - g(x) 在 x = 1 点没有定义。 |
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[510 楼] 午山
[泡菜]
24-5-20 21:10
yxiao_9015 发表于 2024-05-20 09:10 最后两行的内容只是我粗浅的推理，并不是题中的。 还有不知怎样才能把 “ x = 1 排除出 g(x) 的定义域” 呢？ 还麻烦请您再讲解一下。 谢谢！ |
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[509 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-5-20 09:10
找了张草稿纸仔细算了一下，f(x) 果然和 g(x) 一样，也是“关于（1，1）中心对称”，没有问题，问题出在我之前的心算上。
但与题目叙述有关的另一个问题来了：既然 f(x) 和g(x)都关于（1，1）中心对称，那么点（1，1）必是其图像一个单独的交点，而其他交点则成对出现，所以二者交点不会是偶数个。 当然这个问题也不是什么“致命”的问题，多句话把 x = 1 排除出 g(x) 的定义域即可。 |
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[508 楼] yxiao_9015
[禁言中]
24-5-19 14:11
午山 发表于 2024-05-19 10:00 “捉对”一加，结论不就是现成的吗？ |
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[507 楼] 午山
[泡菜]
24-5-19 10:00
yxiao_9015 发表于 2024-05-16 10:22  好的，按您的提示经过计算后已理解这道题。 非常感谢您的解答！ 这里还是一道 “复合函数累加” 的小题。 但这道小题我的问题是：我不知道该怎么去研究这个 g(x)？ 对于 g(x)，我除了知道（1，1）是它的中心对称点以外好像就没有其它什么 “线索” 了？ 不知是不是不用研究这个 g(x) 也可以解这道题呢？ 还麻烦请您再给我指点一下。 谢谢！ 午山 编辑于 2024-05-19 10:13 |
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[506 楼] 午山
[泡菜]
24-5-19 09:57
yxiao_9015 发表于 2024-05-14 08:25 在经过画图、计算之后发现方程在（0，pai）区间确实有三个解，其中一解为 0，其余解都可以对称相消。 您对式子的 “变幻” 方式对我启发很大， 非常感谢您的解答！ |
